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实验内容：#

输入一组正则表达式，输出其转换后的最简的确定有限自动机，并根据生成的确定有限自动机完成实验一的任务。（即完成词法分析任务）

输入一转换图，生成与之等价的正则表达式（未完成）

实验准备：#

正则表达式的语义定义：符号表Σ上的正则表达式α定义一个Σ上的一个符号串的集合，记为L(α)，其定义如下：

R::=R1R2       {L(R)=L(R1)∪L(R2)}

R::=R1R2        {L(R)=L(R1)L(R2)}

R::=R1*          {L(R)=

}

R::=(R1)          {L(R)=L(R1)     }

R::=a              {a∈Σ,且 L(R)={a} }

R::=ε      {ε不是Σ中的元素，L(R)={} }

转换图的定义：符号表Σ上转移T是一个带有权值的有向图T=(V,A),这是V是有向图T的顶点集合，其中的元素称之为状态，因此V亦称状态集，A是弧的集合，弧带有一个权α，其是Σ上的一个正则表达式。其满足如下条件：

1. 存在唯一一个状态S0称为开始状态，其无引入弧
2. 存在唯一一个状态S1称为终止状态，其无引出弧

转换图定义的语言记为L(T)，其是Σ上的一个符号串的集合，Σ上的符号串α∈L(T)当且仅当存在一个由开始状态S0到终止状态S1的路径V0α1V1α2……Vn-1αnVn。

其中V0=S0，Vn=S1，（Vi-1,Vi, αi） (i=1,2,……,n)是T上的弧，且α∈L(α1)……L(αn)。

如果A中每个弧上的正则表达式是Σ上的一个符号或ε（无任何符号），则转换图称之为不确定的有限自动机。

如果A中每个弧上的正则表达式只能是Σ上的符号且任两个弧（V1,V2,α1）、（V’1,V’2,α’1），如果V1=V’1，则V2<>V’2。

基本算法：#

将正则表达式转换成不确定的有限自动机：

对于一个正则表达式α，构造一个转移图，由开始状态S0引出一个到终止状态S1的弧，（S0,S1, α）。

如果有多个正则表达式α1，……，αn，先为每个αi(1<=i<=n)构造一个转换图Ti。建立一个新的转换图T，构造如下：添加一个Sb状态，为Ｔ的开始状态，对每个αi对应的转换图Ti的开始状态Si，添加弧(Sb,Si,ε)。添加一个新状态Se，为T的终止状态，对每个αi对应转换图Ti的终止状态S’i，添加弧（S’i,Sb,ε）。

重复如下操作，直到无状态转换图T无变化

对T中的每个弧(S1,S2,α)，将α分解成两个正则表达式α1与α2由运算OP组成，即α=α1　OP　α2。根据OP做如下操作：

OP是链接运算且α1与α2皆非ε(即不为空串)，则于T中删除弧(S1,S2,α),于T中添加一个状态S，并将弧(S1,S,α1)与(S,S2,α2)添加到T中；

OP是链接运算且α1=(α’)，α2=ε，则于T中删除弧(S1,S2,α)，添加弧(S1,S2,α’)到T中；

OP是或运算，则于T中删除弧(S1,S2,α)，将弧(S1,S2,α1)与弧(S1,S2,α)添加到T中；

OP是闭包运算，且α2=ε，则于T中删除弧(S1,S2,α)，于T中添加一个新状态S，并将弧(S1,S,ε)、(S,S,α1)及(S,S2,ε)添加到T中。

将不确定有限自动机确定化：不确定有限自动机记为NFA，则按照如下操作构造一个确定有限自动机DFA其与NFA等价。

构造NFA中的状态集组成的集合Ｆ，初始时Ｆ为空；

将NFA状态集closure({S0})添加到Ｆ中（S0是NFA的开始状态）；

重复如下操作，直到Ｆ中无新元素增加止

对Ｆ中任一元素Ｓ(NFA的状态集)，对符号表Σ中的每个符号a，将closure(Ｓa)添加到Ｆ中。有关Ｓa定义如下：

Ｓa={s 于Ｓ中存在一个状态s’，使得（s’, s, a）是NFA中的一个弧}

定义转移图T如下：则以Ｆ中元素为状态，对Ｆ中每个元素Ｓ，则有弧(Ｓ，Ｓa, a)。如果Ｆ中的元素Ｓ（NFA的状态集）中含有NFA的终止状态，则其Ｓ是T的终止状态。T的开始状态是closure({S0})。

确定有限自动机的化简操作：

将DFA化简为最简单的sDFA操作如下：

建立DFA状态集的一个分划：π，初始时π中仅有两个集合，一个是由DFA中状态组成的集合，另一个不是终止状态组成的集合。

重复如下操作

对符号表Σ上的每一个符号a做如下操作

建立一个空分划π0（即π0是一个空的状态集合之集合）

对π中的每个集合Ｓ0

对π中的第i个集合Ｓi

令Ｓ0,i,a={s∈Ｓ0　 存在弧(s,s1,a)，这里s1∈Ｓi}

If(Ｓ0,i,a非空)将Ｓ0,i,a添加到π0中

将π0记之为π

自动生成词法分析程序：#

类Disjoint:并查集, 用于计算等价关系；

类Automata:有穷自动机：

1. 有穷状态集(对应有向图中的节点)
2. 输入字母表(状态转移边的标注)
3. 状态转移规则(对应有向图中的边)
4. 初始状态
5. 终止状态集

检查转移图的合法性:

1. 起始状态必须在状态集中
2. 终止状态必须在状态集中

检验是否为确定的有穷自动机(DFA) 标准:

1. 不能有 epsilon 作为输入的字母
2. 存在某状态对于某字母有多种后继状态

实验过程：#

1. 测试运行(实验环境Windows11 Python3.10 pycharm)，如图：

2. 输出信息：

实验总结：

通过本次实验我学会了从正则表达式转NFA(不确定的有穷自动机)、NFA转DFA(确定的有穷自动机)和DFA的最小化。同时我也尝试输出了自动机的转移矩阵和输出自动机的状态转移图。输出自动机的状态转移图使用的是图形可视化软件Graphviz的使用，他能够将将结构信息表示为抽象图形和网络图。在编程过程中程序抛出了ExecutableNotFound的异常信息，经过检查发现为未将Graphviz的安装地址置于系统的环境变量中。状态图中：以圆圈表示状态（圆圈内为状态名），箭头表示状态转移边。以start标记引出箭头指向起始状态，以双圈表示终止状态。